Para introducir el concepto de combinación lineal iniciaremos con un ejemplo. Consideremos los vectores de \mathbb R^{3} :

\alpha=(3,5,2) ~~~~~~~~\beta=(0,1,3)

Y obtengamos un vector \overline{a} tal que:

\overline{a}= -\alpha+3\beta 

Sustituyendo mis datos en la ecuación anterior, tenemos:

\overline{a}=-(3,5,2)+3(0,1,3)

Efectuando las operaciones indicadas, con las leyes usuales de adición y multiplicación por un escalar, obtenemos:

\overline{a}=(-3,-5,-2)+(0,3,9)

Sumando componente a componente:

\begin{aligned} \overline{a}&=(-3+0,-5+3,-2+9)\\[5pt]
\overline{a}&=(-3,-2,7) \end{aligned}

Podemos deducir que el vector \overline{a} se obtuvo mediante una combinación lineal de los vectores \alpha y \beta o, también podemos decir que el vector \overline{a} es una combinación lineal de los vectores \alpha y \beta. Por lo tanto, una combinación lineal es la escritura de un vector \overline{a} como la suma de múltiplos escalares de otros vectores.

Dicho lo anterior, pasemos a la definición formal:

Combinación lineal entre espacios vectoriales

Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y sea v \in V . El vector \overline{v} es una combinación lineal de los vectores \overline{v}_1, \overline{v}_2, \overline{v}_3,...,\overline{v}_n Si puede ser expresado de la forma:

\overline{v}=\alpha_1\overline{v}_1+\alpha_2\overline{v}_2+\alpha_3\overline{v}_3+\dots+\alpha_n\overline{n}_n

donde los escalares

\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\dots,\alpha_n\in K

Entonces decimos que \overline{v} se obtuvo a partir de una combinación lineal de los vectores \overline{v}_1,\overline{v}_2,\overline{v}_3,\dots,\overline{v}_n.

Si nos detenemos un momento a pensar, nosotros podríamos decir que somos una combinación lineal. Sí. Gracias a nuestro padre y nuestra madre hoy estamos aquí y tenemos muchísimo de cada uno de ellos. Otro ejemplo, podría ser la mezcla o creación de colores. Se dice que si combino un color rojo con un blanco, en proporciones adecuadas, podría obtener un tono naranja. O si busco un color rosa, debería combinar el color blanco y el color rojo. Un poco más de color blanco que de rojo, claro.

En el caso de los colores, podemos decir que nuestro campo K , de los escalares, podrían ser las proporciones exactas que necesitamos para obtener un tono adecuado, y nuestro espacio vectorial deberían ser los colores que tenemos para combinar. En el caso de nuestros padres, ellos serían nuestro campo vectorial, y los escalares, las características físicas y genéticas que tomamos de cada uno. Un ejemplo raro e interesante, ¿no? pero que al final tiene algo de sentido.

Ahora, resolvamos el siguiente ejercicio:

Dada la matriz

P =  \begin{bmatrix} 3&v\\ w&11 \end{bmatrix}

i) Determine los valores de las constantes v, w \in \mathbb R de tal manera que la matriz P sea una combinación lineal de las matrices:

B= \begin{bmatrix} 5&-3\\ 2&-1 \end{bmatrix}~~~~~~~~~~~~~~R=\begin{bmatrix} 9&7\\-5&4 \end{bmatrix}

ii) Con los valores de  \alpha y \beta obtenidos, exprese a la matriz P como una combinación lineal de las matrices B y R .

SOLUCIÓN:

i) Para obtener los valores de v y w solicitados, haremos la siguiente combinación lineal como lo pide el primer inciso.

P=\alpha{B}+\beta{R}

Sustituyendo las matrices, quedaría lo siguiente:

\begin{bmatrix} 3&v\\w&11 \end{bmatrix}=\alpha\begin{bmatrix} 5&-3\\2&-1 \end{bmatrix}+\beta \begin{bmatrix} 9&7\\ -5&4 \end{bmatrix}

Multiplicando los escalares del lado derecho:

\begin{bmatrix} 3&v\\w&11 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 5\alpha&-3\alpha\\2\alpha&-\alpha \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} 9\beta&7\beta\\-5\beta&4\beta \end{bmatrix}

Sumando el lado derecho:

\begin{bmatrix} 3&v\\w&11 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} 5\alpha+9\beta&-3\alpha+7\beta&\\2\alpha-5\beta&-\alpha+4\beta \end{bmatrix}

Igualando matrices:

\left\{\begin{aligned} 5\alpha+9\beta&=3\\
-3\alpha+7\beta&=v\\
2\alpha-5\beta&=w\\
-\alpha+4\beta&=11 \end{aligned} \right.

Acomodando las incógnitas hasta el final y usando -\alpha como pivote, tenemos:

\left\{\begin{aligned} -\alpha+4\beta&=11&\dots(1)\\
-5\alpha+9\beta&=3&\dots(2)\\
-3\alpha+7\beta&=v&\dots(3)\\
2\alpha-5\beta&=w&\dots(4) \end{aligned} \right.

Al resolver por el método de Gauss:

\left\{ \begin{aligned} -1+4&=11\\ 5+9&=3&\\-3+7&=v&\\ 2-5&=w& \end{aligned} \right.  \underrightarrow{\begin{gathered} R_{2}\rightarrow5R_{1}+R_{2}\\R_{3}\rightarrow -3R_{1}+R_{3}\\R_{4}\rightarrow2R_{1}+R_{4}\end{gathered}}

Después de efectuar las operaciones elementales, tenemos lo siguiente:

\left\{ \begin{aligned} -1\alpha+4\beta&=11&\dots(1)\\29\beta&=58&\dots(2)\\-5\beta&=v-33&\dots(3)\\ 3\beta&=w+22&\dots(4)\\\end{aligned} \right.

Despejando (2):

\begin{aligned}
29\beta&=58\\[5pt]
\beta&=\frac{58}{29}\\[5pt]
 \beta&=~2  \end{aligned}

De la ecuación (1) podemos sustituir \beta=2:

\begin{aligned}
-\alpha+4\beta&=&11\\
-\alpha+4(2)&=&11\\
 -\alpha+8&=&11\\
 -\alpha&=&11-8\\
 -\alpha&=&3\\
 \alpha&=&-3
\end{aligned}

Con los valores de \alpha y \beta; y las ecuaciones (3) y (4), tenemos:

\begin{aligned} -5\beta&=&v-33\\
-5(2)&=&v-33\\
 -10&=&v-33\\
 -10+33&=&v\\
 23&=&v
\end{aligned}

\begin{aligned}
	3\beta&=&w+22\\
 	3(2)&=&w+22\\
 	6&=&w+22\\
 	6-22&=&w\\
 	-16&=&w
\end{aligned}

Por lo que la matriz queda cómo:

P=\begin{bmatrix}
 	3&23\\-16&11
 \end{bmatrix}

ii) Para finalizar el ejercicio, la combinación lineal solicitada sería:

P=-3B+2R

Es importante señalar que lo esencial del concepto está en la expresión:

 \overline{v}=\alpha_1\overline{v}_1+\alpha_2\overline{v}_2+\alpha_3\overline{v}_3+...+\alpha_n\overline{v}_n

la cual tiene sentido debido a la existencia de las leyes de adición y multiplicación por un escalar en un espacio vectorial, así como a la propiedad asociativa de la adición.

La idea de combinación lineal, es un concepto clave en el estudio del álgebra lineal. Es el origen de la noción de dependencia lineal, base y dimensión, conjunto generador y vector de coordenadas. Este pequeño concepto, al igual que rango de una matriz, dan como inicio a otros conocimientos más avanzados en el estudio de las matemáticas y de la física. Es importante reconocer su valor y todavía más importante es entender claramente qué significan. Por ejemplo, con el lenguaje y operaciones entre vectores podemos dar otra interpretación a un sistema de ecuaciones. Dicha interpretación resultará muy útil, para determinar soluciones así como para representar información mediante gráficas.

Bibliografía:

• Larson, R. (2016). Espacios vectoriales (Séptima edición revisada) Fundamentos de álgebra lineal, (p. 152). México. Cengage Learnig.
• Godínez, H., Herrera, A. (2011). Combinación lineal, dependencia lineal y base. Álgebra lineal, teoría y ejercicios, (pp 129-132). México D.F., México: Universidad Nacional Autónoma de México, División de ciencias básicas, Coordinación de Matemáticas, Departamento de álgebra lineal, Facultad de Ingeniería.
• Solar González, E., Speziale de Guzmán, L. (1985). Dependencia lineal, base y dimensión. Apuntes de álgebra lineal, (p. 559). Cd. Mx, México: Universidad Nacional Autónoma de México, División de ciencias básicas, Departamento de Matemáticas básicas, Facultad de Ingeniería.
• Barrera Mora, F. (2014) (Primera edición ebook) Álgebra lineal. México. Editorial Patria.