Sea A una matriz de orden mxn. El rango de la matriz A se define como el número de renglones distintos de cero después de haber concluido el escalonamiento de la matriz.
Teorema
Para cualquier matriz A , se tiene que:
\text{Rango} (A) = Dim~~L(A_R) = Dim~~L(A_C)
El rango de una matriz representa el número máximo de renglones y columnas linealmente independientes que contiene la matriz.
El procedimiento para calcular el rango de una matriz dada A, es el siguiente:
Llevar A a su forma escalonada reducida por filas.
El rango de A es igual al número de filas no nulos.
Veamos un ejemplo:
Si escalonamos por Gauss la matriz \text{A =} \begin{bmatrix} 1&2&-1&3\\ 2&-1&2&2\\ -1&3&-3&1 \end{bmatrix} ; podemos encontrar el rango:
\text{A =} \begin{bmatrix} 1&2&-1&3\\ 2&-1&2&2\\ -1&3&-3&1 \end{bmatrix} \underrightarrow{\begin{gathered}R_{2}\rightarrow -2R_{1}+R_{2}\\ R_{3}\rightarrow R_{1}+R_{3}\end{gathered}}~~~~~\begin{bmatrix} 1&2&-1&3\\ 0&-5&4&-4\\ 0&5&-4&4 \end{bmatrix} \underrightarrow{\begin{gathered}R_{3}\rightarrow R_{2}+R_{3}\end{gathered}}\begin{bmatrix} 1&2&-1&3\\ 0&-5&4&-4\\ 0&0&0&0 \end{bmatrix}~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~Los renglones no nulos de la matriz equivalente, una vez concluído el escalonamiento, constituyen una base del espacio renglón y, por consiguiente, el número de renglones no nulos, definen la dimensión de dicho espacio vectorial. Este número es el rango de una matriz.
Como la matriz resultante tiene dos renglones diferentes de cero, entonces el rango de A es 2.
R(A) = \{2\}
La definición de rango de una matriz asociada a un espacio vectorial está ligado íntimamente con los conceptos de Espacio renglón y Espacio columna de una matriz. Que nos ayudarán a encontrar los valores, vectores y espacios característicos propios, donde tienen algunas aplicaciones interesantes en Isomorfismo entre espacios vectoriales, en la solución de sistemas de ecuaciones lineales y en la mecánica cuántica con la Ecuación de Schrödinger, donde representa para las partículas microscópicas un papel análogo a la segunda Ley de Newton en la mecánica clásica, y en los orbitales atómicos y moleculares. Nada mal, ¿eh? Un concepto sencillo puede llevarnos a cosas más interesantes. Así que siempre es bueno entender los temas y definiciones por más pequeñas y simples que parezcan. A final de cuentas, muchas cosas terminan entrelazadas.
Bibliografía:
- Howard, A. (1994). Espacios vectoriales. (3ª Edición), Introducción al álgebra lineal (pp 191-192). México D.F. México: Editorial Limusa.
- Barrera García, F. (2019). Espacios vectoriales (2ª edición digital), Fundamentos de álgebra lineal y ejercicios. (pp 111-118). Cd. Mx., México: Universidad Nacional Autónoma de México, Facultad de Ingeniería.
- Solar González, E., Speziale de Guzmán, L. (1985) Espacios vectoriales asociados a una matriz, Apuntes de álgebra lineal (pp 599-600). Cd. Mx, México: Universidad Nacional Autónoma de México, División de ciencias básicas, Departamento de Matemáticas básicas, Facultad de Ingeniería.
- Kolman, B., Hill, D. (2006). Espacios vectoriales reales. (8ª edición), Álgebra lineal (pp 332-333). México: Pearson Educación.
- Larson, R. (2016). Espacios vectoriales. (Séptima edición), Fundamentos de álgebra lineal, (pp 189-198). México: Cengage Learning Editores.
